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一种新型的线性分段插值法的研究

时间:2014-06-25  数控技术网  http://tech.cncproduct.com

  1 引言

在工业生产实践中,系统误差是不可避免而又必须加以校准的。对其较典型的处理是用模型法的非线性校正,即对系统误差进行理论分析和数学处理以建立起系统误差模型,再以此模型确定校正算法和数学表达式。作者在进行系统误差非线性校正中,除采用了传统的分段线性插值法,还根据具体情况采用了作者命名为逐次逼近线性插值法进行处理。通过对两种方法结果的比较,认为逐次逼近线性插值法效果良好,具有一定的实用价值。线性化处理软件编程法分三种方法:计算法、查表法、插值法;其中,插值法又分分段线性插值法、二次插值法、分段曲线拟合法、实验曲线的自动拟合法等。下面先简介分段线性插值法。


图1

2 分段线性插值法此法较为常用,基本方法就是将y=f(x)曲线分成几段直线代替曲线。如图1示。 设非线性函数y=f(x)在区间[x0,xm]是单调的。过点(x0,f(x0)),(xm,f(xm))作直线U=F(x)=Ax+B,则在直线段区间中,其拟合误差:
D= F(x)-f(x)
f(x)
若该段最大误差点不大于允许误差时,可用直线U=F(x)拟合曲线u=f(x),否则可将区间再细分分化为两个子区间,分别作折线进行误差判断。这样按上述方法不断进行区间划分,直至各子区间m(x)均满足为止。 由于输入-输出函数的非线性,且要求各子区间的拟合最大误差满足△max≤δ,因而各子区间长度不一。这就涉及到了区间划分问题。分段线性插值法使用优选法进行区间划分,即使用系数0.618。如图1所示,从xm处向低值截取xk=0.618(xm-x0)的一段为第二区间,(x0,xk)为第一区间。连接点(xk,f(xk)),(xm,f(xm)),既得区间[xk,xm]的拟合折线为: F1=A1x+B1 A1=(f(xm)-f(xk))/(xm-xk),B1=f(xm)-A1x1m 依次类推,可知第i个子区间的拟合折线为: Fi=Aix+Bi Ai=(f(x(i+1)m)-f(xim))/(x(i+1)m-xim),Bi=f(xim)-Aixim 若f(x)为非单调曲线,则可先通过df/dx=0求出各极点,以便化为单调区,再在各单调区间应用上述方法进行拟合。

1
图2 二分法分段线性插值法

3 逐次逼近线性插值法作者在对分段线性插值法的作用中发现,该法中公式的系数取0.618,这对均匀数组来说易引起编程错觉。如在求区间段中,当m-k=2时,X=x[m]-0.618(x[m]-x[k]),则x[m]
δ 0.001 0.015 0.002
区间数
方法
分段线性插值法 73 27 13
逐次分段线性插值法 75 29 13
5 结束语由上述实验数据可以看出,逐次逼近线性插值法效果同传统分段线性插值法基本相同,分段区间较少,线性化良好,其思维方式符合编程习惯,编程清晰,具有一定的实用价值。该法为非线性校正又增添了一种新的可供选择的方案。
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